BAB VI Distribusi Normal, Distribusi T, dan Distribusi F

BAB VI Distribusi Normal, Distribusi T, dan Distribusi F A. Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal Distribusi probabilitas normal dan kurva normal telah dikembangkan oleh DeMoivre (1733) dan Gauss (1777 – 1855) dengan menurunkan persamaan matematis dan kurva normalnya. Oleh sebab itu, kurva normal sering juga disebut kurva Gauss. Beberapa karakteristik dari distribusi probabilitas dan kurva normal adalah: Kurva berbentuk genta atau lonceng dan memiliki satu puncak yang terletak di tengah. Nilai rata-rata hitung (µ) = median (Md) = modus (Mo). Nilai µ = Md = Mo yang berada di tengah membelah kurva menjadi dua bagian yaitu setengah di bawah nilai µ = Md = Mo dan setengah di atas nilai µ = Md = Mo. Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata hitungnya (µ). Distribusi probabilitas dan kurva normal bersifat asimptotis. Kurva mencapai puncak pada saat X = µ. Luas daerah di bawah kurva normal adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri. Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah μ, dan standar deviasi σ, maka persamaan kurva normalnya adalah: B. Jenis-jenis Distribusi Probabilitas Normal Distribusi Probabilitas dan Kurva Normal dengan μ dan σ Berbeda  Bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan nilai tengah sama dan standar deviasi yang berbeda, adalah bentuk leptokurtic, platykurtik dan mesokurtik. Kurva normal tersebut mempunyai μ = Md = Mo yang sama, namun mempunyai σ berbeda. Semakin besar σ, maka kurva semakin pendek dan semakin tinggi nilai σ, maka semakin runcing. Oleh sebab itu, σ tinggi cenderung menjadi platykurtik dan σ rendah menjadi leptokurtik. Nilai σ yang tinggi menunjukkan bahwa nilai data semakin menyebar dari nilai tengahnya (μ). Apabila σ rendah, maka nilai semakin mengelompok pada nilai tengahnya. Distribusi Probabilitas dan Kurva Normal dengan μ Berbeda dan σ Sama Bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan μ berbeda dan σ sama mempunyai jarak antara kurva yang berbeda, namun bentuk kurva tetap sama. Hal demikian bisa terjadi karena kemampuan antar populasi berbeda, namun setiap populasi mempunyai keragaman yang hampir sama. Distribusi Probabilitas dan Kurva Normal dengan μ dan σ Berbeda Distribusi kurva normal dengan μ dan σ berbeda. Kurva ini mempunyai titik pusat yang berbeda pada sumbu mendatar dan bentuk kurva berbeda karena mempunyai standar deviasi yang berbeda. C. Distribusi Probabilitas Normal Baku Distribusi normal baku adalah distribusi probabilitas acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku 1. Seringkali disebut dengan distribusi z. Hal yang perlu dilakukan dalam rangka distribusi probabilitas normal baku adalah mengubah atau membakukan distribusi aktual dalam bentuk distribusi norma baku yang dikenal dengan nilai Z atau skor Z Nilai Z adalah jarak yang berbeda antara sebuah nilai X yang dipilih dari ratarata μ, dibagi dengan standar deviasinya, σ. Rumus nilai Z adalah : Z = Skor Z atau nilai normal baku X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran μ= Nilai rata-rata hitung suatu distribusi σ= Standar deviasi Contoh Soal: Rata-rata berat sebuah kotak adalah 283 gram dan standar deviasinya 1,6 gram. Berapakah probabilitas sebuah kotak dibawah 284,5 gram ? Transformasi dari X ke Z Bila nilai X berada di antara X = x1 dan X = x2, maka variabel acak Z akan berada di antara nilai: Transformasi ini juga mempertahankan luas di bawah kurvanya, artinya: D. Luas Daerah Di Bawah Kurva Kurva setiap distribusi peluang kontinu atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga luas di bawah kurva di antara kedua ordinat x = x1 dan x = x2 sama dengan peluang acak X mendapatkan harga antara x = x1 dan x = x2. Luas di bawah kurva antara dua ordinat sembarang tergantung pada harga µ dan σ. Luas antara nilai Z (-1<Z<1) sebesar 68,26% dari jumlah data. Berapa luas antara Z antara 0 dan sampai Z = 0,76 atau biasa dituis P(0<Z<0,76)? Dapat dicari dari tabel luas di bawah kurva normal. Nilainya dihasilkan = 0,2764 E. Penerapan Kurva Normal Contoh Soal 1 PT GS mengklaim rata-rata berat buah mangga “B” adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen. Jawab: Transformasi ke nilai z   AP(x< 250);  P(x=250) = (250-350)/50=-2,00  Jadi P(x<250)=P(z<-2,00) Lihat pada tabel luas di bawah kurva normal   P(z<-2,00)=0,4772 Luas sebelah kiri nilai tengah adalah 0,5. Oleh sebab itu, nilai daerah yang diarsir menjadi 0,5 – 0,4772=0,0228. Jadi probabilitas di bawah 250 gram adalah 0,0228 (2,28%). Dengan kata lain probabilitas konsumen protes karena berat buah mangga kurang dari 250 gram adalah 2,28%. Contoh Soal 2 PT Work Electric, memproduksi Bohlam Lampu  yang dapat hidup 900 jam dengan standar deviasi 50 jam. PT Work Electric ingin mengetahui berapa persen produksi pada kisaran antara 800-1.000 jam, sebagai bahan promosi bohlam lampu. Hitung berapa probabilitasnya! Jawab: P(800<X<1.000)? Hitung nilai Z Z1 = (800-900)/50 = -2,00; Z2 = (1.000-900)/50 = 2,00 Jadi: P(800<X<1.000) =P(-2,00<Z<2,00); P(-2,00<Z) = 0,4772 dan  P(Z>2,00)  = 0,4772 Sehingga luas daerah yang diarsir adalah = 0,4772+0,4772= 0,9544. Jadi P(800<X<1.000) = P(-2,00 < Z<2,00) = 0,9544. Jadi 95,44% produksi berada pada kisaran 800-1.000 jam. Jadi jika PT Work Electric mengklaim bahwa lampu bohlamnya menyala 800-1.000 jam, mempunyai probabilitas benar 95,44%, sedang sisanya 4,56% harus dipersiapkan untuk garansi. F. Pendekatan Normal Terhadap Binominal Apabila kita perhatikan suatu distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal. Gambar berikut menunjukkan distribusi probabilitas binomial dengan n yang semakin membesar. Bila nilai X adalah distribusi acak binomial dengan nilai tengah μ = np dan standar deviasi σ = √npq, maka nilai Z untuk distribusi normal adalah: di mana n >>>> ¥ dan nilai p mendekati 0,5 Faktor Koreksi Kontinuitas Nilai koreksi kontinuitas adalah sebesar 0,5 yang dikurangkan dan ditambahkan pada data yang diamati. Untuk mengubah pendekatan dari binomial ke normal, memerlukan faktor koreksi, selain syarat binomial terpenuhi: (a) hanya ada dua peristiwa, (b) peristiwa bersifat independen; (c) besar probabilitas sukses dan gagal sama setiap percobaan, (d) data merupakan hasil penghitungan. Menggunakan faktor koreksi yang besarnya 0,5. http://tekdig2011.blogspot.com/2012/05/distribusi-normal.html http://blog.ub.ac.id/adiarsa/tag/macam-distribusi/ http://asmauna.wordpress.com/tag/binomial/ http://mrfree793.blogspot.com/2012/06/distribusi-normal.html http://vebrianaparmita.wordpress.com/2013/11/10/bab-viii-distribusi-probabilitas-dan-kurva-normal/

BAB V Momen, Kemiringan dan kurtosis

BAB 5

 MOMEN, KEMIRINGAN DAN KURTOSIS

A.   Momen

 

            Misal diketahui variabel  X dengan harga X1, X2, X3 . . . .   Xn. Jika A sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, 3,      maka momen di sekitar A disingkat m’rdidefinisikan oleh

Dengan 

Untuk menghitung momen disekitar rata-rata, untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut:

 

TABLE  5.1: Table pembantu untuk mencari m

Data	f1	Ci	f1Ci	f1C12	f1C13	f1C14
60 – 63 64 – 67 68 – 71 72 – 75 76 – 70	5 18 42 27 8	-2 -1 0 1 2	-10 -18 0 27 16	20 18 0 37 42	-40 -18 0 27 64	80 18 0 27 128
Jumlah	100		15	97	35	253

Dapat dihitung :

Jadi Varian S² = m₂ = 15,16

B.   Kemiringan

 

Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu rucing atau tidak terlalu datar. Dinamakanmesokurtik, kurva yang runcing dinamakan leptokurtik sedangkan yang datar disebutplatikurtik.

Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis, diberi simbol a₄, ditentukan dengan rumus a₄ = (m₄/m)

Kriteria yang didapat dari rumus ini ialah:

 

a) a₄ = 3    à        Distribusi normal

b) a₄ > 3    à        Distribusi yagn leptokurtik

c) a₄ < 3     à        Distribusi yang platikurtik

BAB IV UKURAN PENYIMPANGAN

TUGAS STATISTIKA BAB 4

PENGUKURAN PENYIMPANGAN

Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi  rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Ukuran penyimpangan digunakan untuk mengetahui luas penyimpangan data atau homogenitas data. Dua variabel data yang memiliki mean sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya. Ada bebarapa macam ukuran penyebaran data, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi.

Macam-macam ukuran penyimpangan data adalah :

1. Jangkauan (range)
2. Simpangan rata-rata (mean deviation)
3. Simpangan baku (standard deviation)
4. Varians (variance)
5. Koefisien variasi (Coefficient of variation)

1. Jangkauan (range)

Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran data antara nilai terendah (Xmin) dengan nilai tertinggi (Xmax). Ukuran ini sudah digunakan pada pembahasan daftar distribusi frekuensi. Adapun rumusnya adalah

Contoh : 

Berikut ini nilai ujian semester dari 3 mahasiswa
A = 60 55 70 65 50 80 40
B = 50 55 60 65 70 65 55
C = 60 60 60 60 60 60 60
Dari data diatas dapat diketahui bahwa
A = memiliki Xmax=80, Xmin= 40 , R = 40 , meanya 60
B = memiliki Xmax=70, Xmin= 50 , R = 20 , meanya 60
C = memiliki Xmax=60, Xmin= 60 , R = 0 , meanya 60
Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa :
a. Semakin kecil rangenya maka semakin homogen distribusinya
b. Semakin besar rangenya maka semakin heterogen distribusinya
c. Semakin kecil rangenya, maka meannya merupakan wakil yang representatif
d. Semakin besar rangenya maka meannya semakin kurang representatif
2. Simpangan Rata-rata (mean deviation)

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.

• Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu

dimana xi merupakan nilai data

• Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu

dimana xi merupakan nilai data

• Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)

dimana xi merupakan tanda kelas dari interval ke-i dan fi merupakan frekuensi interval ke-i

Contoh :
Dari tabel diperoleh 


3. Simpangan Baku (standard deviation)

Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya. Namun, apabila dalam gugus data tersebut terdapat nilai ekstrem, standar deviasi menjadi tidak sensitif lagi, sama halnya seperti mean.

Standar Deviasi memiliki beberapa karakteristik khusus lainnya. SD tidak berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya di tambahkan atau dikurangkan dengan nilai konstan tertentu. SD berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya dikali/dibagi dengan nilai konstan tertentu. Bila dikalikan dengan nilai konstan, standar deviasi yang dihasilkan akan setara dengan hasilkali dari nilai standar deviasi aktual dengan konstan.

Rumus Simpangan Baku untuk Data Tunggal

• untuk data sample menggunakan rumus

• untuk data populasi menggunkan rumus

Contoh :
Selama 10 kali ulangan semester ini sobat mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan sobat?

Jawab
Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.
Kita cari dulu rata-ratanya
rata-rata = (91+79+86+80+75+100+87+93+90+88)/10 = 869/10 = 85,9

Kita masukkan ke rumus

Rumus Simpangan Baku Untuk Data Kelompok

• untuk sample menggunakan rumus

• untuk populasi menggunakan rumus

Contoh :
Diketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c adalah sebagai berikut

hitunglah berapa simpangan bakunya
1. Kita cari dulu rata-rata data kelompok tersebut

2. Setelah ketemu rata-rata dari data kelompok tersebut kita bikin tabel untuk memasukkannya ke rumus simpangan baku

4. Varians (variance)

Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi.  Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif.  Varians diberi simbol  σ² (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s² sampel.

Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s²  untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk populasi

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk sampel

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk populasi

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk sampel

Keterangan:
σ² = varians atau ragam untuk populasi
S² = varians atau ragam untuk sampel
f_i = Frekuensi
x_i = Titik tengah
x¯ = Rata-rata (mean) sampel dan   μ = rata-rata populasi
n =  Jumlah data

5. Koefisien variasi (Coefficient of variation)

Koefisien variasi merupakan suatu ukuran variansi yang dapat digunakan untuk membandingkan suatu distribusi data yang mempunyai satuan yang berbeda. Kalau kita membandingkan berbagai variansi atau dua variabel yang mempunyai satuan yang berbeda maka tidak dapat dilakukan dengan menghitung ukuran penyebaran yang sifatnya absolut.

Koefisien variasi adalah suatu perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata dan dinyatakan dengan persentase.

Besarnya koefisien variasi akan berpengaruh terhadap kualitas sebaran data. Jadi jika koefisien variasi semakin kecil maka datanya semakin homogen dan jika koefisien korelasi semakin besar maka datanya semakin heterogen.

DAFTAR PUSTAKA

http://vebrianaparmita.wordpress.com/2013/10/06/bab-vi-pengukuran-penyimpangan-range-deviasi-varian

Sudjana. (1991). In Statistika. Bandung: Tarsito.
http://www.smartstat.info/statistika/statisika-deskriptif/ukuran-penyebaran-measures-of-dispersion.html
http://rumushitung.com/2013/04/05/rumus-simpangan-baku/
http://digensia.wordpress.com/2012/03/15/statistik-deskriptif/
http://okemath.com/?page_id=394