BAB VI Distribusi Normal, Distribusi T, dan Distribusi F

BAB VI Distribusi Normal, Distribusi T, dan Distribusi F A. Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal Distribusi probabilitas normal dan kurva normal telah dikembangkan oleh DeMoivre (1733) dan Gauss (1777 – 1855) dengan menurunkan persamaan matematis dan kurva normalnya. Oleh sebab itu, kurva normal sering juga disebut kurva Gauss. Beberapa karakteristik dari distribusi probabilitas dan kurva normal adalah: Kurva berbentuk genta atau lonceng dan memiliki satu puncak yang terletak di tengah. Nilai rata-rata hitung (µ) = median (Md) = modus (Mo). Nilai µ = Md = Mo yang berada di tengah membelah kurva menjadi dua bagian yaitu setengah di bawah nilai µ = Md = Mo dan setengah di atas nilai µ = Md = Mo. Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata hitungnya (µ). Distribusi probabilitas dan kurva normal bersifat asimptotis. Kurva mencapai puncak pada saat X = µ. Luas daerah di bawah kurva normal adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri. Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah μ, dan standar deviasi σ, maka persamaan kurva normalnya adalah: B. Jenis-jenis Distribusi Probabilitas Normal Distribusi Probabilitas dan Kurva Normal dengan μ dan σ Berbeda  Bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan nilai tengah sama dan standar deviasi yang berbeda, adalah bentuk leptokurtic, platykurtik dan mesokurtik. Kurva normal tersebut mempunyai μ = Md = Mo yang sama, namun mempunyai σ berbeda. Semakin besar σ, maka kurva semakin pendek dan semakin tinggi nilai σ, maka semakin runcing. Oleh sebab itu, σ tinggi cenderung menjadi platykurtik dan σ rendah menjadi leptokurtik. Nilai σ yang tinggi menunjukkan bahwa nilai data semakin menyebar dari nilai tengahnya (μ). Apabila σ rendah, maka nilai semakin mengelompok pada nilai tengahnya. Distribusi Probabilitas dan Kurva Normal dengan μ Berbeda dan σ Sama Bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan μ berbeda dan σ sama mempunyai jarak antara kurva yang berbeda, namun bentuk kurva tetap sama. Hal demikian bisa terjadi karena kemampuan antar populasi berbeda, namun setiap populasi mempunyai keragaman yang hampir sama. Distribusi Probabilitas dan Kurva Normal dengan μ dan σ Berbeda Distribusi kurva normal dengan μ dan σ berbeda. Kurva ini mempunyai titik pusat yang berbeda pada sumbu mendatar dan bentuk kurva berbeda karena mempunyai standar deviasi yang berbeda. C. Distribusi Probabilitas Normal Baku Distribusi normal baku adalah distribusi probabilitas acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku 1. Seringkali disebut dengan distribusi z. Hal yang perlu dilakukan dalam rangka distribusi probabilitas normal baku adalah mengubah atau membakukan distribusi aktual dalam bentuk distribusi norma baku yang dikenal dengan nilai Z atau skor Z Nilai Z adalah jarak yang berbeda antara sebuah nilai X yang dipilih dari ratarata μ, dibagi dengan standar deviasinya, σ. Rumus nilai Z adalah : Z = Skor Z atau nilai normal baku X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran μ= Nilai rata-rata hitung suatu distribusi σ= Standar deviasi Contoh Soal: Rata-rata berat sebuah kotak adalah 283 gram dan standar deviasinya 1,6 gram. Berapakah probabilitas sebuah kotak dibawah 284,5 gram ? Transformasi dari X ke Z Bila nilai X berada di antara X = x1 dan X = x2, maka variabel acak Z akan berada di antara nilai: Transformasi ini juga mempertahankan luas di bawah kurvanya, artinya: D. Luas Daerah Di Bawah Kurva Kurva setiap distribusi peluang kontinu atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga luas di bawah kurva di antara kedua ordinat x = x1 dan x = x2 sama dengan peluang acak X mendapatkan harga antara x = x1 dan x = x2. Luas di bawah kurva antara dua ordinat sembarang tergantung pada harga µ dan σ. Luas antara nilai Z (-1<Z<1) sebesar 68,26% dari jumlah data. Berapa luas antara Z antara 0 dan sampai Z = 0,76 atau biasa dituis P(0<Z<0,76)? Dapat dicari dari tabel luas di bawah kurva normal. Nilainya dihasilkan = 0,2764 E. Penerapan Kurva Normal Contoh Soal 1 PT GS mengklaim rata-rata berat buah mangga “B” adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen. Jawab: Transformasi ke nilai z   AP(x< 250);  P(x=250) = (250-350)/50=-2,00  Jadi P(x<250)=P(z<-2,00) Lihat pada tabel luas di bawah kurva normal   P(z<-2,00)=0,4772 Luas sebelah kiri nilai tengah adalah 0,5. Oleh sebab itu, nilai daerah yang diarsir menjadi 0,5 – 0,4772=0,0228. Jadi probabilitas di bawah 250 gram adalah 0,0228 (2,28%). Dengan kata lain probabilitas konsumen protes karena berat buah mangga kurang dari 250 gram adalah 2,28%. Contoh Soal 2 PT Work Electric, memproduksi Bohlam Lampu  yang dapat hidup 900 jam dengan standar deviasi 50 jam. PT Work Electric ingin mengetahui berapa persen produksi pada kisaran antara 800-1.000 jam, sebagai bahan promosi bohlam lampu. Hitung berapa probabilitasnya! Jawab: P(800<X<1.000)? Hitung nilai Z Z1 = (800-900)/50 = -2,00; Z2 = (1.000-900)/50 = 2,00 Jadi: P(800<X<1.000) =P(-2,00<Z<2,00); P(-2,00<Z) = 0,4772 dan  P(Z>2,00)  = 0,4772 Sehingga luas daerah yang diarsir adalah = 0,4772+0,4772= 0,9544. Jadi P(800<X<1.000) = P(-2,00 < Z<2,00) = 0,9544. Jadi 95,44% produksi berada pada kisaran 800-1.000 jam. Jadi jika PT Work Electric mengklaim bahwa lampu bohlamnya menyala 800-1.000 jam, mempunyai probabilitas benar 95,44%, sedang sisanya 4,56% harus dipersiapkan untuk garansi. F. Pendekatan Normal Terhadap Binominal Apabila kita perhatikan suatu distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal. Gambar berikut menunjukkan distribusi probabilitas binomial dengan n yang semakin membesar. Bila nilai X adalah distribusi acak binomial dengan nilai tengah μ = np dan standar deviasi σ = √npq, maka nilai Z untuk distribusi normal adalah: di mana n >>>> ¥ dan nilai p mendekati 0,5 Faktor Koreksi Kontinuitas Nilai koreksi kontinuitas adalah sebesar 0,5 yang dikurangkan dan ditambahkan pada data yang diamati. Untuk mengubah pendekatan dari binomial ke normal, memerlukan faktor koreksi, selain syarat binomial terpenuhi: (a) hanya ada dua peristiwa, (b) peristiwa bersifat independen; (c) besar probabilitas sukses dan gagal sama setiap percobaan, (d) data merupakan hasil penghitungan. Menggunakan faktor koreksi yang besarnya 0,5. http://tekdig2011.blogspot.com/2012/05/distribusi-normal.html http://blog.ub.ac.id/adiarsa/tag/macam-distribusi/ http://asmauna.wordpress.com/tag/binomial/ http://mrfree793.blogspot.com/2012/06/distribusi-normal.html http://vebrianaparmita.wordpress.com/2013/11/10/bab-viii-distribusi-probabilitas-dan-kurva-normal/